қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2014 год
Задача №2. В равенстве ${{109}^{10}}=23673**67459211723401~$ замените звездочки цифрами так, чтобы получилось верное равенство.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. В квадрате $1\times 1$ отмечено 9 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдется два треугольника с вершинами в этих точках площади не более 1/8 каждый.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. На катетах $AC$ и $BC$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно так, что $CD=CE$. Перпендикуляры к прямой $AE$, проходящие через точки $C$ и $D$, пересекают сторону $AB$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $BP=PQ$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Квадратный трехчлен $f(x)={{x}^{2}}+px+q$ имеет два корня, один из которых лежит внутри отрезка $\left[ 0;1 \right]$, а другой — вне этого отрезка. Определите знак $f\left( q \right)$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Числа от 1 до 10 в каком-то порядке выписали в строку и получили числа ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{10}}$ затем вычислили суммы ${{S}_{1}}={{a}_{1}}$, ${{S}_{2}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{S}_{10}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{10}}$. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди чисел ${{S}_{1}},{{S}_{2}},\ldots ,{{S}_{10}}$?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. В стране есть несколько городов и несколько дорог с односторонним движением. Каждая дорога соединяет два города и не проходит через остальные. При этом, какие бы два города ни взять, хотя бы из одного из них можно проехать в другой, не нарушая правил движения. Докажите, что найдется город, из которого можно проехать в любой другой, не нарушая правил движения.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Пусть $AD$ — медиана треугольника $ABC$, причем $\angle ADB=45{}^\circ $ и $\angle ACB=30{}^\circ $. Найдите величину угла $BAD$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)