Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2014 год

Задача №1. Упростите выражение:

$\sqrt{\sqrt{{{(a-2\sqrt{ab}+b)}^{2}}}}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. В равенстве

${{109}^{10}}=23673**67459211723401~$ замените звездочки цифрами так, чтобы получилось верное равенство.
комментарий/решение

Задача №3. В квадрате

$1\times 1$ отмечено 9 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдется два треугольника с вершинами в этих точках площади не более 1/8 каждый.
комментарий/решение

Задача №4. На катетах

$AC$ и

$BC$ равнобедренного прямоугольного треугольника

$ABC$ отмечены точки

$D$ и

$E$ соответственно так, что

$CD=CE$ . Перпендикуляры к прямой

$AE$ , проходящие через точки

$C$ и

$D$ , пересекают сторону

$AB$ в точках

$P$ и

$Q$ . Докажите, что

$BP=PQ$ .
комментарий/решение(2)

Задача №5. Квадратный трехчлен

$f(x)={{x}^{2}}+px+q$ имеет два корня, один из которых лежит внутри отрезка

$\left[ 0;1 \right]$ , а другой — вне этого отрезка. Определите знак

$f\left( q \right)$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Числа от 1 до 10 в каком-то порядке выписали в строку и получили числа

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{10}}$ затем вычислили суммы

${{S}_{1}}={{a}_{1}}$ ,

${{S}_{2}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{S}_{10}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{10}}$ . Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди чисел

${{S}_{1}},{{S}_{2}},\ldots ,{{S}_{10}}$ ?
комментарий/решение

Задача №7. В стране есть несколько городов и несколько дорог с односторонним движением. Каждая дорога соединяет два города и не проходит через остальные. При этом, какие бы два города ни взять, хотя бы из одного из них можно проехать в другой, не нарушая правил движения. Докажите, что найдется город, из которого можно проехать в любой другой, не нарушая правил движения.
комментарий/решение

Задача №8. Пусть

$AD$ — медиана треугольника

$ABC$ , причем

$\angle ADB=45{}^\circ$ и

$\angle ACB=30{}^\circ$ . Найдите величину угла

$BAD$ .
комментарий/решение(2)