Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2014 год

Квадратный трехчлен $f(x)={{x}^{2}}+px+q$ имеет два корня, один из которых лежит внутри отрезка $\left[ 0;1 \right]$, а другой — вне этого отрезка. Определите знак $f\left( q \right)$.

Комментарий/решение

$$x_1+x_2=-p \qquad x_1x_2=q \Rightarrow f(q)=q^2+pq+q=(x_1x_2)^2-x_1x_2(x_1+x_2)+x_1x_2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow f(q)=x_1x_2(x_1-1)(x_2-1)$$

$$1) x_1 \in [0,1]: \quad x_1(x_1-1)\leq 0$$

$$1.1) x_1\in (0,1), x_2>1 \Rightarrow x_2( x_2-1)>0 \Rightarrow f(q)=x_1x_2(x_1-1)(x_2-1)<0$$

$$1.2) x_1\in (0,1), x_2<0 \Rightarrow x_2( x_2-1)>0 \Rightarrow f(q)=x_1x_2(x_1-1)(x_2-1)<0$$

$$1.3) x_1=0 \Rightarrow f(q)=0 \qquad 1.4) x_1=0 \Rightarrow f(q)=0$$

$$\textbf{OTBET:} f(q)\leq 0$$