Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2013 жыл
Есеп №1. Бір диірмен 19 центнер бидайды 3 сағатта, екіншісі — 32 центнерді 5 сағатта , ал үшіншісі — 10 центнерді 2 сағатта ұнтақтайды. Олар жұмысты бір уақытта бастап, бір уақытта бітіру үшін 133 тонна бидайды оларға қалай бөліп беру керек.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. a, b және c сандары үшін ab+c−a=ba+c−b=ca+b−c теңдігі орындалатыны белгілі. (a+b)(b+c)(a+c)abc өрнегі қандай мәндер қабылдай алады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Жазықтықта ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 13 нүкте берілсін. Төбелері осы нүктелерде жататын 130-дан кем емес теңбүйірлі емес үшбұрыштар бар болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. ABC үшбұрышында AA1, BB1 және CC1 биіктіктері, ал AA2, BB2 және CC2 — медианалары болсын. Сонда A2B1C2A1B2C1A2 сынығының ұзындығы ABC үшбұрышының периметріне тең екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Бүтін сандар жиынында теңсіздіктер жүйесін шешіңдер {2x2+2y2+12x−20y+63<0,3x+y+3<0.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Нақты a>0, b>0 сандары үшін 8(a4+b4)≥(a+b)4 теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Дөңгелекшелерде 1, 2, 3, 4, 5, 6 сандары жазылған. Бір жүрісте кез келген екі көршілес (кесіндімен қосылған) жұпты таңдап алып олардың әрқайсысына бірдей бүтін санды қосуға болады (әр қадам сайын ол сан өзгеріп тұруы мүмкін). Осындай амалдармен бірінші сур. сандардан екінші сур. сандарды алуға бола ма?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Дөңес ABCD төртбұрышында мына қатынастар орындалады: ∠DAB=∠ABC=60∘ және ∠CAB=∠CBD. AD+CB=AB болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)