Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2013 год
Докажите неравенство $8\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{4}}$, где $a$, $b$ — действительные числа и $a > 0$, $b > 0$.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Теңсіздіктің екі жағын да 16-ға бөлеміз. Сонда келесі теңсіздікті дәлелдейміз
$$\frac{a^4+b^4}{2}\geq{(\frac{a+b}{2})}^4$$
Квадраттық орта мен арифметикалық орта теңсіздігінен келесі теңсіздікті аламыз
$$\frac{a^4+b^4}{2}\geq{{(\frac{a^2+b^2}{2})}}^2$$
$$\frac{a^4+b^4}{2}\geq{{(\frac{a^2+b^2}{2})}}^2\geq{(\frac{a+b}{2})}^4$$
Д.К.О
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.