Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2013 год

Докажите неравенство $8\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{4}}$, где $a$, $b$ — действительные числа и $a > 0$, $b > 0$.

Комментарий/решение

Теңсіздіктің екі жағын да 16-ға бөлеміз. Сонда келесі теңсіздікті дәлелдейміз

$$\frac{a^4+b^4}{2}\geq{(\frac{a+b}{2})}^4$$

Квадраттық орта мен арифметикалық орта теңсіздігінен келесі теңсіздікті аламыз

$$\frac{a^4+b^4}{2}\geq{{(\frac{a^2+b^2}{2})}}^2$$

$$\frac{a^4+b^4}{2}\geq{{(\frac{a^2+b^2}{2})}}^2\geq{(\frac{a+b}{2})}^4$$

Д.К.О