Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2013 год

Задача №1. Одна мельница перемалывает 19 центнеров пшеницы за 3 часа, другая — 32 центнера за 5 часов, третья — 10 центнеров за 2 часа. Как распределить между ними 133 тонны пшеницы, чтобы, одновременно начав работу, они окончили ее одновременно?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Про числа

$a$ ,

$b$ и

$c$ известно,

$\dfrac{a}{b+c-a}=\dfrac{b}{a+c-b}=\dfrac{c}{a+b-c}.$ Какие значения может принимать выражение

$\dfrac{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( a+c \right)}{abc}$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №3. На плоскости дано 13 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует не менее 130 неравнобедренных треугольников с вершинами в этих точках.
комментарий/решение

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ через

$A{{A}_{1}}$ ,

$B{{B}_{1}}$ и

$C{{C}_{1}}$ обозначим высоты, а через

$A{{A}_{2}}$ ,

$B{{B}_{2}}$ и

$C{{C}_{2}}$ — медианы. Докажите, что длина ломаной

${{A}_{2}}{{B}_{1}}{{C}_{2}}{{A}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{A}_{2}}$ равна периметру треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Решите в целых числах систему неравенств

$\left\{ \begin{gathered} 2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y + 63 < 0, \\ 3x + y + 3 < 0. \\ \end{gathered} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Докажите неравенство

$8\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{4}}$ , где

$a$ ,

$b$ — действительные числа и

$a > 0$ ,

$b > 0$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. В кружочках расположены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается выбрать любую пару соседних (соединенных отрезком) чисел и прибавить к каждому из них одно и то же целое число (это число может меняться от шага к шагу). Можно ли из совокупности чисел на рис. 1 получить совокупность чисел, изображенных на рис. 2?

комментарий/решение

Задача №8. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$ выполнены соотношения:

$\angle DAB=\angle ABC=60{}^\circ$ и

$\angle CAB=\angle CBD$ . Докажите, что

$AD+CB=AB$ .
комментарий/решение(2)