Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2012 жыл

Есеп №1. ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a=23$, $a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}=25$ шарттарын қанағаттандыратын барлық бүтін $\left( a,b,c \right)$ үштіктерін табыңдар.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №2. Ондық жазылуында нөл жоқ кез келген отыз таңбалы санның бірнеше цифрын сызып тастап, 101-ге бөлінетін сан алуға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №3. $a+b=ab$ болатындай оң $a,b$ сандары үшін $\dfrac{a}{{{b}^{2}}+4}+\dfrac{b}{{{a}^{2}}+4}\ge \dfrac{1}{2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышында $M$ — $BC$ қабырғасының ортасы, ал $N$ және $H$ нүктелері — сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларына түсірілген биіктіктердің табандары. $\angle NMH=\angle ABC$ және $AC=8$ екені белгілі. $NH$ кесіндісінің ұзындығын табыңдар.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №5. $x$ және $y$ нақты сандары үшін $\dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=12$ теңдігі орындалады. $\dfrac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}+\dfrac{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}$ өрнегінің мәнін табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Бірінші қорапта қызыл шарлар, ал екінші қорапта көк шарлар бар және де қызыл шарлар көк шарлар санының 15/19 бөлігін құрайды. Қораптардан қызыл шарлардың 3/7-сін және көктердің 2/5-ін алып тастағаннан кейін, бірінші қорапта 1000 шардан кем, ал екінші қорапта 1000 шардан артық шар қалды. Алғашында әр қорапта неше шардан бар еді?
комментарий/решение

---

Есеп №7. Жыл сайын 25 кластастар оқу жылы біткен күні бір-біріне телефон соғады. Осы жылы кез келген үш кластастар арасында кем дегенде бір жұп бір-бірімен телефонмен байланыса алмады. Кластастар арасында ең көп дегенде неше рет сөйлесу болуы мүмкін.
комментарий/решение

---

Есеп №8. $ABCD$ параллелограмының $AD$ қабырғасының бойынан $R$ нүктесі, ал $AB$ және $CD$ қабырғаларының бойынан сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелері $PR$ және $QR$ кесінділері параллелограмм диагональдарына параллель болатындай етіп алынған. $PBR$ және $QCR$ үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---