Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2012 год

Про действительные числа $x$ и $y$ известно, что $\dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=12$. Найдите значение выражения $\dfrac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}+\dfrac{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}$.

Комментарий/решение

$$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=6$$ $$\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}+\frac{x^4-y^4}{x^4+y^4}=\frac{(x^2-y^2)^2+(x^2+y^2)^2}{2(x^2-y^2)(x^2+y^2)}+\frac{1}{\frac{(x^2-y^2)^2+(x^2+y^2)^2}{2(x^2-y^2)(x^2+y^2)}}=$$ $$=\frac{1}{12}+ 3+\frac{1}{\frac{1}{12}+3}=\frac{37}{12}+\frac{12}{37}$$