қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2012 год
Задача №1. Найдите все тройки целых чисел $\left( a,b,c \right)$ таких, что ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a=23$, $a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}=25$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Докажите, что в любом тридцатизначном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что полученное в результате число будет делиться на 101.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Для положительных чисел $a,b$ таких, что $a+b=ab$, докажите неравенство $\dfrac{a}{{{b}^{2}}+4}+\dfrac{b}{{{a}^{2}}+4}\ge \dfrac{1}{2}.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $BC$ а точки $N$ и $H$ — основания высот, проведенных к сторонам $AB$ и $AC$ соответственно. Известно, что $\angle NMH=\angle ABC$ и $AC=8$ см. Найдите длину отрезка $NH$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Про действительные числа $x$ и $y$ известно, что $\dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=12$. Найдите значение выражения $\dfrac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}+\dfrac{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. В первой коробке находились красные шары, а во второй — синие, причем число красных шаров составляло 15/19 от числа синих шаров. Когда из коробок удалили 3/7 красных шаров и 2/5 синих, то в первой коробке осталось менее 1000 шаров, а во второй — более 1000 шаров. Сколько шаров было первоначально в каждой коробке?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. 25 одноклассников ежегодно в день окончания школы звонят друг другу. В очередном году оказалось, что среди любых трех одноклассников хотя бы одна пара не смогла связаться по телефону. Какое наибольшее количество разговоров между одноклассниками могло произойти?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. На стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $R$, а на сторонах $AB$ и $CD$ точка $P$ и $Q$ соответственно так, что отрезки $PR$ и $QR$ параллельны диагоналям параллелограмма. Докажите, что площади треугольников $PBR$ и $QCR$ равны.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)