Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2012 год

Задача №1. Найдите все тройки целых чисел

$\left( a,b,c \right)$ таких, что

${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a=23$ ,

$a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}=25$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Докажите, что в любом тридцатизначном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что полученное в результате число будет делиться на 101.
комментарий/решение

Задача №3. Для положительных чисел

$a,b$ таких, что

$a+b=ab$ , докажите неравенство

$\dfrac{a}{{{b}^{2}}+4}+\dfrac{b}{{{a}^{2}}+4}\ge \dfrac{1}{2}.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. В остроугольном треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина стороны

$BC$ а точки

$N$ и

$H$ — основания высот, проведенных к сторонам

$AB$ и

$AC$ соответственно. Известно, что

$\angle NMH=\angle ABC$ и

$AC=8$ см. Найдите длину отрезка

$NH$ .
комментарий/решение(3)

Задача №5. Про действительные числа

$x$ и

$y$ известно, что

$\dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=12$ . Найдите значение выражения

$\dfrac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}+\dfrac{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В первой коробке находились красные шары, а во второй — синие, причем число красных шаров составляло 15/19 от числа синих шаров. Когда из коробок удалили 3/7 красных шаров и 2/5 синих, то в первой коробке осталось менее 1000 шаров, а во второй — более 1000 шаров. Сколько шаров было первоначально в каждой коробке?
комментарий/решение

Задача №7. 25 одноклассников ежегодно в день окончания школы звонят друг другу. В очередном году оказалось, что среди любых трех одноклассников хотя бы одна пара не смогла связаться по телефону. Какое наибольшее количество разговоров между одноклассниками могло произойти?
комментарий/решение

Задача №8. На стороне

$AD$ параллелограмма

$ABCD$ взята точка

$R$ , а на сторонах

$AB$ и

$CD$ точка

$P$ и

$Q$ соответственно так, что отрезки

$PR$ и

$QR$ параллельны диагоналям параллелограмма. Докажите, что площади треугольников

$PBR$ и

$QCR$ равны.
комментарий/решение(2)