Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2012 год

Найдите все тройки целых чисел $\left( a,b,c \right)$ таких, что ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a=23$, $a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}=25$.

Комментарий/решение

решение естьь???

Вычтем из правого уравнения левое и разложим на множители левую часть на множители:

$$ (a-b)(b-c)(c-a)=2$$

Заметим что эти числа целые. Тогда каждая скобка может быть равна 1,-1,2 или -2. Однако сумма этих скобок равно 0. Значит у нас возможно только два варианта(заметим что уравнение циклическое и достаточно рассмотреть один вариант):

$$ a-b=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a-b=-1\\ b-c=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b-c=-1\\ c-a=-2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c-a=2$$

Откуда получаем ответы в параметрах :

$$ (b+1,b,b-1)\ {\large{и}}\ (b-1,b,b+1)$$

Подставляя эти ответы в уравнения получаем единственный ответ (1,2,3). Затем циклический меняя места находим еще ответы (3,1,2), (2,1,3)

Перенесите пожалуйста решение в отдельный коммент. Если самый первый коммент удалить, то и Ваше также решение автоматический удалится.