Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2011 жыл

Есеп №1. $\left( x+100 \right)\left( x+99 \right)\ldots \left( x-99 \right)\left( x-100 \right)$ өрнекте барлық жақшаларды ашып ұқсас мүшелерін келтіргеннен кейін ${{x}^{201}}+\ldots +a{{x}^{2}}+bx+c$ өрнегі пайда болды. $a$, $b$ және $c$ сандарын табыңдар.
комментарий/решение

---

Есеп №2. Бүтін $m$, $n$ және $k$ сандарының $m+n+k$ қосындысы 3-ке бөлінетіні белгілі. Онда ${{m}^{2}}\left( n+k \right)+{{n}^{2}}\left( m+k \right)+{{k}^{2}}\left( m+n \right)$ саны 6-ға бөлінетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №3. Көше бойында 100 фонарь бар. Олардың жұмыс істеуіне 100 құртақан қызмет етеді. Кешке, қараңғы түсісімен(барлық фонарьлар сөніп тұрғанда), құртақандар бірінің соңынан бірі жүріп отырып ажыратқыштардың кнопкасын басып отырады: бірінші–барлық кнопкаларды, екінші–әрбір екінші кнопканы, үшінші–әрбір үшіншіні, т.с.с., соңғы жүзінші құртақан тек қана жүзінші кнопканы басып шығады. Соңында қандай нөмірлі фонарьлар жанған (қосылған) болып шығады.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышында $A$ бұрышы $60{}^\circ $-қа тең. $BK$ және $CL$ биіктіктері қиылысқандағы бұрыштардың біреуінің биссектрисасы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Кез келген оң $a$ және $b$ сандары үшін $\dfrac{a}{b+2a}+\dfrac{b}{a+2b}\le \dfrac{2}{3}$ теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №6. Торкөзді қағазға тордың сызықтарының бойымен тіктөртбұрыш сызылды. Оның ішінде бірлік кесінділер түйіндер санынан 90-ға артық болып шықты. Тіктөртбұрыштың өлшемдерін табыңдар.
комментарий/решение

---

Есеп №7. Екеуі мынандай ойын ойнайды: олар 1-ден 7-ге дейінгі натурал сандарды дөңгелекшелерге жазады және әрбір санды тек бір рет қана қолдана алады. Барлық дөңгелекшелер толтырылғаннан кейін бір түзудің бойындағы сандардың қосындылары есептелінеді. Егер осы қосындылардың ішінде үшеуі бірдей болса, онда бірінші ойыншы жеңеді, басқа жағдайда — екінші ойыншы жеңеді. Дұрыс ойында қайсысы жеңеді: ойынды бастаған ба, әлде оның қарсыласы ма?

комментарий/решение

---

Есеп №8. Тіктөртбұрышқа төртбұрыш іштей сызылған (әр қабырғада бір төбеден). Төртбұрыштың периметрі тіктөртбұрыштың екі еселенген диагоналінен кем емес екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(4)

---