Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2011 год

Докажите, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $\dfrac{a}{b+2a}+\dfrac{b}{a+2b}\le \dfrac{2}{3}$.

Комментарий/решение

Вначале упростим выражение слева. $\dfrac{a}{ b+2a}+\dfrac{b}{a+2b}=\dfrac{(a+b)^2+2ab}{2 (a+b)^2+ab } $.Теперь сделаем замену $(a+b)^2=x; ab=y $ и получим $\dfrac {x+2y}{2x+y}<\dfrac {2}{3} $. Выделим целую часть отсюда $\dfrac {2x+y-x+y}{2x+y}=1+\dfrac {y-x}{2x+y}<\dfrac {2}{3} $ откуда $\dfrac {x-y}{2x+y}>\dfrac {1}{3} $; Перенесем правую часть влево и получим после упрощения $\dfrac {x-4y}{3 (2x+y)}>0$. Знаменатель явно больше 0,то числитель больше 0, то есть $x-4y>0;x>4y $. Делаем обратную замену $(a+b)^2>4ab;a^2+2ab+b^2>4ab;$ $a^2-2ab+b^2>0; (a-b)^2>0;$ что верно

$$\left\{ \begin{gathered} b +2a= x \\ a+2b = y\\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$$

$$\Rightarrow a=\frac{2x-y}{3}, b= \frac{2y-x}{3}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{a}{b+2a}+\frac{b}{a+2b}=\frac{2x-y}{3x}+\frac{2y-x}{3y}=$$

$$=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\cdot \left(\underbrace{-\frac{y}{x}-\frac{x}{y}}\right)$$

$$(x-y)^2\geq 0 \Rightarrow x^2-2xy+y^2\geq0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow -2xy\geq -x^2-y^2 \Rightarrow -2\geq-\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{4}{3}+\frac{1}{3}\cdot \left(\underbrace{-\frac{y}{x}-\frac{x}{y}}\right)\leq \frac{4}{3}-\frac{2}{3}= \frac{2}{3}$$

$$\frac{a}{b+2a}+\frac{b}{a+2b}\leq \frac{2}{3}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 3a(a+2b)+3b(b+2a)\leq 2(a+2b)(b+2a)$$

$$3a^2+12ab+3b^2\leq 4a^2+4b^2+10ab\Rightarrow$$

$$\Rightarrow (a-b)^2\geq 0$$