Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2011 год

Задача №1. В выражении $\left( x+100 \right)\left( x+99 \right)\ldots \left( x-99 \right)\left( x-100 \right)$ раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. Получилось выражение ${{x}^{201}}+\ldots +a{{x}^{2}}+bx+c$. Найдите числа $a$, $b$ и $c$.
комментарий/решение

Задача №2. Про целые числа $m$, $n$ и $k$ известно, что их сумма $m+n+k$ делится нацело на 3. Докажите, что число ${{m}^{2}}\left( n+k \right)+{{n}^{2}}\left( m+k \right)+{{k}^{2}}\left( m+n \right)$ делится нацело на 6.
комментарий/решение

Задача №3. Вдоль улицы расположено 100 фонарей с переключателями. Их обслуживают 100 гномов. Вечером, с наступлением темноты (когда все фонари выключены), гномы идут друг за другом и нажимают кнопки переключателей: первый — все кнопки подряд, второй — каждую вторую кнопку, третий — каждую третью и т.д., наконец, сотый гном нажимает только сотую кнопку. Указать номера фонарей, которые оказываются в конце концов включенными.
комментарий/решение

Задача №4. В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60{}^\circ $. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами $BK$ и $CL$, проходит через центр описанной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Докажите, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $\dfrac{a}{b+2a}+\dfrac{b}{a+2b}\le \dfrac{2}{3}$.
комментарий/решение(3)

Задача №6. На клетчатой бумаге нарисовали прямоугольник по линиям сетки. Внутри него оказалось единичных отрезков сетки на 90 больше, чем узлов. Определите размеры прямоугольника.
комментарий/решение

Задача №7. Двое играют в такую игру: они по очереди записывают в кружочки по одному натуральному числу от 1 до 7, причем каждое число можно использовать только один раз. После заполнения всех кружочков вычисляются суммы всех чисел стоящих вдоль одной прямой. Если среди найденных сумм есть три одинаковых, то выигрывает первый игрок, в противном случае — второй игрок. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его соперник?

комментарий/решение

Задача №8. В прямоугольник вписан четырехугольник (по вершине на каждой стороне). Докажите, что его периметр не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
комментарий/решение(4)