Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2013 год

Задача №1. Вернувшись со школы Нуркен поспешил поделиться открытием со своей сестрой Гаухар. Оказывается, что число 2013 является наименьшим четырехзначным числом

$\overline{abcd}$ , состоящим из различных цифр таким, что справедливо равенство

${{a}^{b}}+{{c}^{d}}={{a}^{c}}+{{b}^{d}}$ . Однако Гаухар сразу поняла, что это неправильно. Помогите Нуркену определить, как она догадалась.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дан треугольник

$ABC$ , в котором

$\angle ABC=70{}^\circ$ ,

$\angle ACB=50{}^\circ$ . На сторонах

$AB$ и

$AC$ отмечены такие точки

$M$ и

$N$ , что

$\angle MCB=40{}^\circ$ и

$\angle NBC=50{}^\circ$ . Найдите угол

$\angle NMC$ .
комментарий/решение

Задача №3. Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 2013 так, чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная на расстоянии 4 и ровно одна на расстоянии 7 (расстояние измеряется по окружности)?
комментарий/решение

Задача №4. Пусть даны натуральные числа

$m$ и

$n$ такие, что НОД

$\left( m,n \right)=1$ . Докажите, что число

$\dfrac{\left( m+n-1 \right)!}{n!\left( m-1 \right)!}$ делится на

$m$ (

$k!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k$ ).
комментарий/решение

Задача №5. В каком году мог родиться бессмертный горец Дункан Маклауд, если известно, что в 2013 году ему исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения?
комментарий/решение

Задача №6. На основании

$BC$ треугольника

$ABC$ найдите такую точку

$X$ , что окружности, вписанные в треугольники

$ABX$ и

$ACX$ , будут иметь общую точку.
комментарий/решение

Задача №7. 2013 ненулевых цифр выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определенного места, то полученное 2013-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.
комментарий/решение

Задача №8. Квадрат

$47\times 47$ покройте квадратами

$1\times 1$ ,

$2\times 2$ и

$3\times 3$ . Какое наименьшее необходимое количество квадратов

$1\times1$ необходимо для этого?
комментарий/решение