Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2007 жыл

Есеп №1. Теңдеулер жүйесін шешіңдер: $\left\{ \begin{gathered} 3y - 2{x^2} = {x^2}y, \\ {\text{ }}y + 2x{\text{ }} = 3xy. \\ \end{gathered} \right.$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Бүтін сандар жиынында шешіңдер: $2{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}=2007$.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №3. Қабырғаларының ұзындықтары бүтін сандар болатын үшбұрыштардың ішінде қайсылары көп: периметрі 2007-ге тең немесе периметрі 2010-ға тең?
комментарий/решение

---

Есеп №4. $ABCD$ төртбұрышында $AD$ және $CD$ қабырғалары тең; $\angle BCD=60{}^\circ$, $\angle BAC=30{}^\circ$. $BC$ және $CD$ қабырғалары да тең екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5.  Мына түрдегі сандар
а) $\underbrace{11 \ldots 1}_{2007}2\underbrace{11 \ldots 1}_{2007}$;
б) $\underbrace{11 \ldots 1}_{2008}2\underbrace{11 \ldots 1}_{2008}$
жай сан бола ма?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6.  Суретте көрсетілген параболалар $y={{x}^{2}}+px+q$ және $y={{x}^{2}}+qx+p$ функцияларының графиктері болуы мүмкін бе?

комментарий/решение

---

Есеп №7. Теңсіздікті дәлелдеңдер: $\dfrac{3}{2}({{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}})+24\ge 4{{a}^{2}}b+4{{b}^{2}}c+4{{c}^{2}}a,$ мұндағы $a,b,c$ — қандай да бір нақты сандар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №8. $ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасының бойынан $K$ және $L$ нүктелері алынған ($K$ нүктесі $A$ және $L$ нүктелерінің арасында жатыр). $AK\cdot LB=AB\cdot KL$ және $\angle LCK=\angle LCB$ екені белгілі. $ACL$ — бұрышы тік екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---