Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2007 год

В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AD$ и $CD$ равны, $\angle BCD=60{}^\circ$, $\angle BAC=30{}^\circ$. Докажите, что стороны $BC$ и $CD$ также равны.

Комментарий/решение

Опустим из точки $C$ перпендикуляр на прямую $AB$ положим что это точка $H$ тогда $\angle BCH = \angle DCA$ , проведем медиану , она же высота равнобедренного треугольника $ACD$ и $N$ основание проекции медианы (высоты) , тогда треугольники $DNC, BCH$ подобны , откуда $\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{CN}{CH}$ , но так как катет лежащий напротив $30^{\circ}$ равен половине гипотенузы , получим $CN=CH$ , значит $CD=BC$ .