Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2007 жыл

$ABCD$ төртбұрышында $AD$ және $CD$ қабырғалары тең; $\angle BCD=60{}^\circ $, $\angle BAC=30{}^\circ$. $BC$ және $CD$ қабырғалары да тең екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Опустим из точки $C$ перпендикуляр на прямую $AB$ положим что это точка $H$ тогда $\angle BCH = \angle DCA$ , проведем медиану , она же высота равнобедренного треугольника $ACD$ и $N$ основание проекции медианы (высоты) , тогда треугольники $DNC, BCH$ подобны , откуда $\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{CN}{CH}$ , но так как катет лежащий напротив $30^{\circ} $ равен половине гипотенузы , получим $CN=CH$ , значит $CD=BC$ .