Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2007 год

Задача №1. Решите систему уравнений:

$\left\{ \begin{gathered} 3y - 2{x^2} = {x^2}y, \\ {\text{ }}y + 2x{\text{ }} = 3xy. \\ \end{gathered} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Решите в целых числах:

$2{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}=2007$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. Каких треугольников с целочисленными сторонами больше: имеющих периметр 2007 или имеющих периметр 2010?
комментарий/решение

Задача №4. В четырехугольнике

$ABCD$ стороны

$AD$ и

$CD$ равны,

$\angle BCD=60{}^\circ$ ,

$\angle BAC=30{}^\circ$ . Докажите, что стороны

$BC$ и

$CD$ также равны.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Может ли число вида: а)

$\underbrace{11...1}_{2007}2\underbrace{11...1}_{2007}$ ; б)

$\underbrace{11...1}_{2008}2\underbrace{11...1}_{2008}$ быть простым?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Могут ли изображенные на рисунке ниже параболы быть графиками функций

$y={{x}^{2}}+px+q$ и

$y={{x}^{2}}+qx+p$ ?

комментарий/решение

Задача №7. Пусть

$a,b,c$ — вещественные числа. Докажите неравенство:

$\dfrac{3}{2}({{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}})+24\ge 4{{a}^{2}}b+4{{b}^{2}}c+4{{c}^{2}}a.$
комментарий/решение(1)

Задача №8. На стороне

$AB$ треугольника

$ABC$ отмечены точки

$K$ и

$L$ (точка

$K$ лежит между точками

$A$ и

$L$ ). Известно, что

$AK\cdot LB=AB\cdot KL$ и

$\angle LCK=\angle LCB$ . Докажите, что угол

$ACL$ — прямой.
комментарий/решение(1)