Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2007 год

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечены точки $K$ и $L$ (точка $K$ лежит между точками $A$ и $L$). Известно, что $AK\cdot LB=AB\cdot KL$ и $\angle LCK=\angle LCB$. Докажите, что угол $ACL$ — прямой.

Комментарий/решение

По теореме биссектрис $\dfrac{CB}{CK}=\dfrac{LB}{KL}$ из условии $\dfrac{LB}{KL}= \dfrac{AB}{AK}$ тогда $\dfrac{CB}{CK}=\dfrac{AB}{AK}$.

Пусть точка что $T$ на $BC$ что $CK=CT \Rightarrow CL$ биссектриса и высота $CL \bot KT$

$CK=CT \Rightarrow \dfrac{CB}{CT}=\dfrac{AB}{AK}$ по теореме Фалеса $CA \parallel KT$

$CL \bot KT \Rightarrow CL \bot CA$ ч.т.д