Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2007 год

Задача №1. Во всех клетках таблицы

$3\times 3$ первоначально записаны нули. Одним ходом разрешается прибавить ко всем четырем числам любого квадрата

$2\times 2$ по единице. Можно ли после нескольких ходов получить нарисованную таблицу?

комментарий/решение(1)

Задача №2. Докажите, что квадратное уравнение

$a{{x}^{2}}+bx+c=0$ имеет ровно один корень на интервале

$\left( 0;1 \right)$ , если числа

$a$ ,

$b$ и

$c$ выражают длины сторон некоторого треугольника.
комментарий/решение

Задача №3. Группа туристов вышла из лагеря в 11 часов утра. В 11:30 один из туристов вспомнил, что он оставил в лагере компас, и побежал назад в лагерь. Взяв компас, он тут же побежал обратно и догнал группу в 13 часов. В котором часу он прибежал в лагерь.
комментарий/решение

Задача №4. Боковые стороны трапеции относятся как 1:2, а сумма углов при большем основании равна

$120{}^\circ$ . Найдите углы данной трапеции.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Является ли число

${{3}^{22}}+5\cdot {{3}^{10}}+1$ простым?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника

$A,B,C,D$ . Среди чисел 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 18 какие-то четыре выражают площади прямоугольников

$A,B,C,D$ . Найдите эту четверку чисел.

комментарий/решение(2)

Задача №7. На какое наименьшее натуральное число надо умножить произведение

$1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot \ldots \cdot 12!$ , чтобы полученное произведение стало квадратом некоторого натурального числа? (

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$ )
комментарий/решение(1)

Задача №8. Диагонали

$AC$ и

$BD$ четырехугольника

$ABCD$ равны и пересекаются в точке

$F$ . Докажите, что прямая, соединяющая середины сторон

$BC$ и

$AD$ , перпендикулярна биссектрисе угла

$\angle CFD$ .
комментарий/решение(5)