Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2007 жыл

Есеп №1.  Алғашында $3\times 3$ таблицаның барлық клеткаларында нөлдер жазылған. Бір жүрісте кез-келген $2\times 2$ шаршыдағы барлық төрт санға бір-бірден қосуға болады. Бірнеше жүрістен кейін суреттегі таблицаны алуға бола ма?

комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Егер $a$, $b$ және $c$ сандары үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болса, онда $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ квадрат теңдеуінің $(0;1)$ интервалында тек бір ғана түбірі болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №3. Туристер тобы лагерьден таңғы сағат 11-де жолға шықты. $11:30$-да туристің біреуі лагерьде компасты ұмытып кеткенін есіне түсіріп, лагерьге қайтты. Компасты ала салып ол бірден кері қайтты да топты сағат 13-те қуып жетті. Ол қай уақытта лагерьге қайтып келіп еді?
комментарий/решение

---

Есеп №4. Трапецияның бүйір қабырғалары $1:2$ қатынасындай, ал үлкен табанындағы бұрыштардың қосындысы $120{}^\circ $-қа тең. Трапецияның бұрыштарын табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. ${{3}^{22}}+5\cdot {{3}^{10}}+1$ саны жай сан ба?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Тіктөрбұрыш $A,B,C,D$ төрт кішкентай тіктөртбұрыштарға бөлінген. 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 18 сандарының қайсібір төртеуі $A,B,C,D$ тіктөртбұрыштарының аудандары болып табылады. Осы төрт санды табыңдар.

комментарий/решение(2)

---

Есеп №7. Шыққан көбейтінді қандай да бір натурал санның квадраты болуы үшін $1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot \ldots \cdot 12!$ көбейтіндісін қандай ең кіші натурал санға көбейту керек? ($n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$.)
комментарий/решение(1)

---

Есеп №8. $ABCD$ төртбұрышының $AC$ және $BD$ диагональдары өзара тең және $F$ нүктесінде қиылысады. $BC$ және $AD$ қабырғаларының орталарын қосатын түзу бұрышының биссектрисасына перпендикуляр екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(5)

---