Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2007 год

Задача №1. На доске написаны числа 1, 2, 3,

$\dots$ , 10. Разрешается стереть любые два числа

$x$ и

$y$ , а вместо них записать на доску числа

$x-1$ и

$y+3$ . Могли ли через некоторое время на доске оказаться числа 11, 12, 13,

$\dots$ , 19, 2007?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника. Площади трех из них известны: 3, 8, 13. Найдите площадь четвертого прямоугольника.

комментарий/решение(1)

Задача №3. В седьмом классе каждый мальчик дружит с пятью девочками и шестью мальчиками, а каждая девочка дружит с шестью мальчиками и пятью девочками. Сколько школьников учится в седьмом классе, если известно, что их не больше сорока?
комментарий/решение(1)

Задача №4. В прямоугольном треугольнике

$ABC$ отмечена точка

$K$ — середина гипотенузы

$AB$ . На катете

$BC$ выбрана точка

$M$ , так, что

$BM=2MC$ . Докажите, что

$\angle MAB=\angle MKC$ .
комментарий/решение(8)

Задача №5. Найдите все такие трехзначные числа

$N$ , что сумма цифр числа

$N$ в 11 раз меньше самого числа

$N$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Разрежьте фигуру, показанную на рисунке ниже, тремя прямыми линиями на четыре одинаковые части и сложите из них треугольник.

комментарий/решение

Задача №7. Во время первенства класса по шахматам двое участников, сыграв равное количество партий, заболели и выбыли из турнира, а остальные участники доиграли турнир до конца. Играли ли выбывшие участники между собой, если всего было сыграно 23 партии? (Каждый играл с каждым 1 партию)
комментарий/решение(1)

Задача №8. На какое наименьшее натуральное число надо умножить произведение

$1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot \ldots \cdot 10!$ , чтобы полученное произведение стало квадратом некоторого натурального числа? (

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$ )
комментарий/решение(5)