Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2007 год

Найдите все такие трехзначные числа $N$, что сумма цифр числа $N$ в 11 раз меньше самого числа $N$.

Комментарий/решение

Пусть $N=\overline{abc}$ Явно, что $a,b,c$ однозначные числа, но $а\ne 0$ Тогда $\overline{abc}=11(a+b+c)$ Значит $100a+10b+c=11a+11b+11c$, $$10c+b=89a$$ У нас $b,c$ однозначные числа, тогда $10c+b$ двузначный. Тогда $89а$ должно быть двузначный. И мы получим от этого только один вариант: $$а=1$$ Тогда $$b=9$$; $$c=8$$. Значит $$N=198$$