қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2007 год
Задача №1. На доске написаны числа 1, 2, 3, $\dots$, 10. Разрешается стереть любые два числа $x$ и $y$, а вместо них записать на доску числа $x-1$ и $y+3$. Могли ли через некоторое время на доске оказаться числа 11, 12, 13, $\dots$, 19, 2007?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника. Площади трех из них известны: 3, 8, 13. Найдите площадь четвертого прямоугольника.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В седьмом классе каждый мальчик дружит с пятью девочками и шестью мальчиками, а каждая девочка дружит с шестью мальчиками и пятью девочками. Сколько школьников учится в седьмом классе, если известно, что их не больше сорока?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ отмечена точка $K$ — середина гипотенузы $AB$. На катете $BC$ выбрана точка $M$, так, что $BM=2MC$. Докажите, что $\angle MAB=\angle MKC$.
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Задача №5. Найдите все такие трехзначные числа $N$, что сумма цифр числа $N$ в 11 раз меньше самого числа $N$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Разрежьте фигуру, показанную на рисунке ниже, тремя прямыми линиями на четыре одинаковые части и сложите из них треугольник.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Во время первенства класса по шахматам двое участников, сыграв равное количество партий, заболели и выбыли из турнира, а остальные участники доиграли турнир до конца. Играли ли выбывшие участники между собой, если всего было сыграно 23 партии? (Каждый играл с каждым 1 партию)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. На какое наименьшее натуральное число надо умножить произведение $1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot \ldots \cdot 10!$, чтобы полученное произведение стало квадратом некоторого натурального числа? ($n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)