Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2006 год

Задача №1. Возрастающая арифметическая прогрессия содержит два натуральных числа и квадрат меньшего из них. Докажите, что она содержит и квадрат второго числа.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 3 многоугольника, из которых складывается прямоугольный треугольник (переворачивать части нельзя).
комментарий/решение

Задача №3. В неравнобедренном остроугольном треугольнике

$ABC$ проведена высота

$BD$ . На продолжении

$DB$ за точку

$B$ выбрана точка

$K$ так, что

$\angle KAC=\angle BCA$ . Докажите, что окружность, проходящая через точку

$B$ и касающаяся прямой

$AC$ в точке

$C$ , пересекает

$BD$ в ортоцентре треугольника

$AKC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пять человек, живущих в разных городах, получили зарплату, одни больше, другие меньше (143, 233, 313, 410 и 413). Каждый из них может послать деньги другому по почте. При этом почта берет за перевод

$10\%$ пересылаемой суммы денег. Они хотят переслать деньги так, чтобы у каждого оказалось одно и то же количество денег, а почта получила как можно меньше денег. Сколько будет денег у каждого при самом экономном способе пересылки?
комментарий/решение

Задача №5. Докажите, что уравнение

${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+49{{z}^{2}}=\underbrace{777...7}_{2006}$ неразрешимо в целых числах.
комментарий/решение

Задача №6. Сравните без помощи калькулятора числа:

$\sqrt{2006}+\sqrt{2005+\sqrt{2006}} \quad\text{и} \quad\sqrt{2005}+\sqrt{2006+\sqrt{2005}}.$
комментарий/решение(1)

Задача №7. Пусть

$a$ и

$b$ целые числа. Докажите, что
a)

$2a+3b\vdots 13$ тогда и только тогда, когда

$2b-3a\vdots 13$ ;
б) Если

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\vdots 13$ , тогда

$2a+3b\vdots 13$ или

$2b+3a\vdots 13$ .
комментарий/решение

Задача №8. 20 шахматистов сыграли турнир в один круг (каждый сыграл с каждым по одной партии). Корреспондент газеты «Спорт» написал в своей заметке, что каждый участник этого турнира выиграл столько же партий, сколько и свёл вничью. Докажите, что корреспондент ошибся.
комментарий/решение(1)

Задача №9. Докажите, что для любых неотрицательных чисел

$a$ и

$b$ справедливо неравенство

$\dfrac{{{(a+b)}^{2}}}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №10. Дан выпуклый четырехугольник

$ABCD$ , в котором

$\angle A=90^\circ$ , а вершина

$C$ удалена от прямых

$AB$ и

$AD$ на расстояния, равные длинам отрезков

$AB$ и

$AD$ , соответственно. Докажите, что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.
комментарий/решение(2)