Processing math: 100%

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2006 жыл


Есеп №1. Екі натурал сан және оның кішісінің квадраты өспелі арифметикалық прогрессияның мүшелері болып келеді. Екінші санның квадраты да прогрессияның мүшесі болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Кез келген үшбұрышты 3 көпбұрышқа қиып, олардан тікбұрышты үшбұрыш құрауға болатынын дәлелдеңдер (бөліктерді аударуға болмайды).
комментарий/решение
Есеп №3. Тең бүйірлі емес сүйір бұрышты ABC үшбұрышында BD биіктігі жүргізілген. DB-ның созындысында B нүктесінен ары KAC=BCA орындалатындай K нүктесі алынған. B нүктесінен өтетін және AC түзуін C нүктесінде жанайтын шеңбер BD-ны AKC үшбұрышының ортоцентрі болатын нүктеде қиып өтетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Әр қалада тұратын бес адам біреуі көп, біреуі аз жалақы алды (143, 233, 313, 410 және 413). Олардың әрқайсысы басқа біреуге поштамен ақша сала алады Ал пошта өз қызметі үшін салынған акшаның 10%-ін ұстайды. Олар бәрінде бірдей ақша болуын және поштаға барынша аз ақша төлеуді қалайды. Ең тиімді ақша салу барысында әрқайсысында қанша ақша болады?
комментарий/решение
Есеп №5. x2+2y2+49z2=77772006 теңдеуінің бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение
Есеп №6. Калькулятордың көмегінсіз екі санды салыстырыңдар: 2006+2005+2006 және 2005+2006+2005.
комментарий/решение(1)
Есеп №7. a және b бүтін сандары берілген. Дәлелдеңдер:
(a) 2a+3b13 сонда тек қана сонда ғана, егер 2b3a13;
(b) егер a2+b213, онда 2a+3b13 немесе 2b+3a13.
комментарий/решение
Есеп №8. 20 шахматшы бір айналымнан тұратын турнирде ойнады (әркім әркіммен бір партия ойнады). «Спорт» газетінің тілшісі өз мақаласында турнирдің әрбір қатынасушысы қанша партия жеңсе сонша партияны тең аяқтады деп жазды Тілшінің қателескенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
Есеп №9. Кез келген теріс емес a және b сандары үшін (a+b)22+a+b4ab+ba теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
Есеп №10. A=90 болатын ABCD дөңес төртбұрышы берілген. C төбесінен AB және AD түзулеріне дейінгі қашықтық сәйкесінше AB және AD кесінділеріне тең. Төртбұрыштың диагональдары өзара перпендикуляр екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)