Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2006 жыл

Есеп №1. Екі натурал сан және оның кішісінің квадраты өспелі арифметикалық прогрессияның мүшелері болып келеді. Екінші санның квадраты да прогрессияның мүшесі болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Кез келген үшбұрышты 3 көпбұрышқа қиып, олардан тікбұрышты үшбұрыш құрауға болатынын дәлелдеңдер (бөліктерді аударуға болмайды).
комментарий/решение

---

Есеп №3. Тең бүйірлі емес сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышында $BD$ биіктігі жүргізілген. $DB$-ның созындысында $B$ нүктесінен ары $\angle KAC=\angle BCA$ орындалатындай $K$ нүктесі алынған. $B$ нүктесінен өтетін және $AC$ түзуін $C$ нүктесінде жанайтын шеңбер $BD$-ны $AKC$ үшбұрышының ортоцентрі болатын нүктеде қиып өтетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Әр қалада тұратын бес адам біреуі көп, біреуі аз жалақы алды (143, 233, 313, 410 және 413). Олардың әрқайсысы басқа біреуге поштамен ақша сала алады Ал пошта өз қызметі үшін салынған акшаның $10\%$-ін ұстайды. Олар бәрінде бірдей ақша болуын және поштаға барынша аз ақша төлеуді қалайды. Ең тиімді ақша салу барысында әрқайсысында қанша ақша болады?
комментарий/решение

---

Есеп №5. ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+49{{z}^{2}}=\underbrace{777\ldots 7}_{2006}$ теңдеуінің бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №6. Калькулятордың көмегінсіз екі санды салыстырыңдар: $\sqrt{2006}+\sqrt{2005+\sqrt{2006}}$ және $\sqrt{2005}+\sqrt{2006+\sqrt{2005}}$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №7. $a$ және $b$ бүтін сандары берілген. Дәлелдеңдер:
(a) $2a+3b\vdots 13$ сонда тек қана сонда ғана, егер $2b-3a\vdots 13$;
(b) егер ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\vdots 13$, онда $2a+3b\vdots 13$ немесе $2b+3a\vdots 13$.
комментарий/решение

---

Есеп №8. 20 шахматшы бір айналымнан тұратын турнирде ойнады (әркім әркіммен бір партия ойнады). «Спорт» газетінің тілшісі өз мақаласында турнирдің әрбір қатынасушысы қанша партия жеңсе сонша партияны тең аяқтады деп жазды Тілшінің қателескенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №9. Кез келген теріс емес $a$ және $b$ сандары үшін $\dfrac{{{(a+b)}^{2}}}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$ теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №10. $\angle A=90^\circ $ болатын $ABCD$ дөңес төртбұрышы берілген. $C$ төбесінен $AB$ және $AD$ түзулеріне дейінгі қашықтық сәйкесінше $AB$ және $AD$ кесінділеріне тең. Төртбұрыштың диагональдары өзара перпендикуляр екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---