Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2006 год

Докажите, что уравнение ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+49{{z}^{2}}=\underbrace{777...7}_{2006}$ неразрешимо в целых числах.

Комментарий/решение

$x^2 + 2y^2 \equiv 0 \pmod{7}$

$Перебирая \ остатки \ при \ делении \ на \ 7, \ получаем, \ что \ x \equiv 0 \pmod{7}, \ y \equiv 0 \pmod{7}$

$Пусть \ x = 7a, \ y = 7b$

$Подставим: \ 49a^2 + 98b^2 + 49z^2 = 7 \cdot (111\ldots1) \ (2006 \ единиц)$

$Следовательно, \ число \ 111\ldots1 \ (2006 \ единиц) \ должно \ делиться \ на \ 7$

$Это \ число \ можно \ представить \ в \ виде:$

$1 + 10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^{2005}$

$Исследуем \ остатки \ степеней \ десятки \ по \ модулю \ 7:$

$10^{3k} \equiv 1 \pmod{7}$

$10^{3k+1} \equiv 3 \pmod{7}$

$10^{3k+2} \equiv 2 \cdot 3 \equiv 6 \pmod{7}$

$Следовательно, \ сумма \ по \ модулю \ 7:$

$(1 + 3 + 6) + (1 + 3 + 6) + \ldots$

$В \ 2006 \ цифрах \ единиц \ содержится \ 668 \ полных \ троек \ и \ ещё \ 2 \ цифры$

$668 \cdot (1 + 3 + 6) + 1 + 3 \equiv 668 \cdot 10 + 4 \equiv 2 \pmod{7}$

$Следовательно, \ 111\ldots1 \ (2006 \ единиц) \ не \ делится \ на \ 7$

$Противоречие \ \Rightarrow \ уравнение \ не \ имеет \ решений \ в \ целых$