қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2006 год
Задача №1. Возрастающая арифметическая прогрессия содержит два натуральных числа и квадрат меньшего из них. Докажите, что она содержит и квадрат второго числа.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 3 многоугольника, из которых складывается прямоугольный треугольник (переворачивать части нельзя).
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. В неравнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$. На продолжении $DB$ за точку $B$ выбрана точка $K$ так, что $\angle KAC=\angle BCA$. Докажите, что окружность, проходящая через точку $B$ и касающаяся прямой $AC$ в точке $C$, пересекает $BD$ в ортоцентре треугольника $AKC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пять человек, живущих в разных городах, получили зарплату, одни больше, другие меньше (143, 233, 313, 410 и 413). Каждый из них может послать деньги другому по почте. При этом почта берет за перевод $10\%$ пересылаемой суммы денег. Они хотят переслать деньги так, чтобы у каждого оказалось одно и то же количество денег, а почта получила как можно меньше денег. Сколько будет денег у каждого при самом экономном способе пересылки?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Докажите, что уравнение ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+49{{z}^{2}}=\underbrace{777...7}_{2006}$ неразрешимо в целых числах.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Сравните без помощи калькулятора числа: $$\sqrt{2006}+\sqrt{2005+\sqrt{2006}} \quad\text{и} \quad\sqrt{2005}+\sqrt{2006+\sqrt{2005}}.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Пусть $a$ и $b$ целые числа. Докажите, что
a) $2a+3b\vdots 13$ тогда и только тогда, когда $2b-3a\vdots 13$;
б) Если ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\vdots 13$, тогда $2a+3b\vdots 13$ или $2b+3a\vdots 13$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. 20 шахматистов сыграли турнир в один круг (каждый сыграл с каждым по одной партии). Корреспондент газеты «Спорт» написал в своей заметке, что каждый участник этого турнира выиграл столько же партий, сколько и свёл вничью. Докажите, что корреспондент ошибся.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №9. Докажите, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $\dfrac{{{(a+b)}^{2}}}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №10. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle A=90^\circ $, а вершина $C$ удалена от прямых $AB$ и $AD$ на расстояния, равные длинам отрезков $AB$ и $AD$, соответственно. Докажите, что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)