Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2006 год

В неравнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$. На продолжении $DB$ за точку $B$ выбрана точка $K$ так, что $\angle KAC=\angle BCA$. Докажите, что окружность, проходящая через точку $B$ и касающаяся прямой $AC$ в точке $C$, пересекает $BD$ в ортоцентре треугольника $AKC$.

Комментарий/решение

$\text{Назовем окружность: } \omega_0$

$\omega_0 \cap BD = A'$

$CA' \cap AK = L$

$\angle CA'D = \angle CAL,$ $\angle A'CD = \angle ACL \Rightarrow \triangle CA'D \sim \triangle CAL$

$\angle CLA = \angle BDC = 90^\circ \square$