Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2006 жыл

Есеп №1. $\Pi(x)$ деп $x$ санының цифрларының көбейтіндісін белгілейміз. $\Pi(2006)$, $\Pi(2007)$, $\Pi(2008)$, $\ldots$ сандарының тізбегі берілген. Ең көп дегенде тізбекте қатар тұрған натурал сандардың саны қанша болуы мүмкін?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Жанұяда 4 адам бар. Егер Асқардың стипендиясы екі есе өссе, онда жанұяның жалпы кірісі $10 \%$-ке, егер оның орнына шешесінің жалақысы екі есе өссе, онда $20 \%$-ке, ал егер әкесінің жалақысы екі есе артса, онда $55 \%$-ке артады. Егер атасының пенсиясы екі есе артса, онда жанұяның жалпы кірісі неше процентке артады?
комментарий/решение

---

Есеп №3. Кез келген параллелограммды 9 тең бүйірлі үшбұрышқа бөлуге болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. $\left( x -a\right)\left( x-10 \right)+1$ өрнегі $\left( x+b \right)\left( x+ c\right)$ көбейтіндісіне жіктелетіндей (мұндағы $b$ және $c$ — бүтін) бүтін $a$ санын табыңдар.
комментарий/решение

---

Есеп №5. Үшбұрыштың $AB$ қабырғасының ортасы $M$ және $D\in AC$ $ABC$ бұрышының биссектрисасының табаны. Егер $MD\perp BD$ болса, онда $AB=3BC$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Мына теңдік дұрыс па $\dfrac{2\cdot \text{ 2005}}{\text{1}+\dfrac{\text{1}}{\text{1}+\text{2}}+\dfrac{1}{1+2+3}+\dots+\dfrac{1}{1+2+3+\dots+2005}}=2006 \ ?$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №7. Нақты $a,b,c$ сандары берілген және $a > b > c$. ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a > {{b}^{2}}a+{{a}^{2}}c+{{c}^{2}}b$ теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №8. Тақтада басында 1 саны жазылған еді. Асан оған 3-ті, 5-ті немесе 7-ні қоса алады. Марат шыққан нәтижеге жай сан шығатындай етіп 3-ті, 5-ті немесе 7-ні қосу керек. Одан кейін Асан тағы да 3-ті, 5-ті немесе 7-ні қосады т.с.с. Егер Марат жай сан ала алмаса, онда ол жеңіледі. Егер де Марат 100-ден үлкен жай сан алса, онда ол жеңеді. Дұрыс ойында қайсысы жеңеді?
комментарий/решение

---

Есеп №9. $ABC$ үшбұрышында $A{{A}_{1}}$ және $C{{C}_{1}}$ биссектрисалары жүргізілген. $M$ және $K$ нүктелері — $B$ төбесінен сәйкесінше $A{{A}_{1}}$ және $C{{C}_{1}}$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлардың табандары. $MK\parallel AC$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №10. Массалары 1 г, 2 г, 3 г, 4г, …, 2005 г болатын 2005 гирь берілген. Осыларды әрбір топта гирьлердің саны бірдей және гирьлердің массаларының қосындысын бірдей етіп 5 топқа бөлуге бола ма?
комментарий/решение

---