Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2006 год

Обозначим через П($x$) произведение цифр числа $x$. В ряд выписаны числа П(2006), П(2007), П(2008), $\ldots$ Какое наибольшее количество чисел, записанных подряд, могут оказаться последовательными натуральными числами?

Комментарий/решение

Ответ: 10 чисел

Так как последние цифры этих чисел могут быть только от 0 до 9. То максимум может быть 10 чисел подряд которые подходят, потому что произведение следующее после числа у которого последняя цифра 9, будет равна 0, так как последнее число будет 0.

Возможны только последние цифры с 0-9, значит как максимум количество чисел может быть 10 подряд. Так как чтобы произведение было последовательное нужно чтобы все числа кроме последнего были нечетные, чтобы могла чередоваться четность, но максимум в диапазоне от 0-9 последних цифр в числах.

Заметим, что удобно будет применить единицы во всех нечетных местах. Получается что мы можем применить числа 11110-11119 и количество чисел как раз равна самому максимальному, а то есть 10.