Processing math: 100%

Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2006 год


Задача №1.  Обозначим через П(x) произведение цифр числа x. В ряд выписаны числа П(2006), П(2007), П(2008), Какое наибольшее количество чисел, записанных подряд, могут оказаться последовательными натуральными числами?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В семье 4 человека. Если Аскару удвоят стипендию, то общий доход всей семьи возрастет на 10%, если вместо этого маме удвоят зарплату — то на 20%, если же зарплату удвоят папе — то на 55%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?
комментарий/решение
Задача №3.  Докажите, что любой параллелограмм можно разрезать ровно на 9 равнобедренных треугольников.
комментарий/решение
Задача №4.  Найти целое число a, при котором (xa)(x10)+1 разлагается в произведение (x+b)(x+c) двух множителей с целыми b и c.
комментарий/решение
Задача №5.  Пусть в треугольнике M середина AB и DAC основания биссектрисы угла ABC. Докажите, что AB=3BC, если MDBD.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Верно ли, что 2 20051+11+2+11+2+3++11+2+3++2005=2006 ?
комментарий/решение(1)
Задача №7.  Даны действительные числа a,b,c, причемa>b>c. Докажите неравенство a2b+b2c+c2a>b2a+a2c+c2b.
комментарий/решение(1)
Задача №8.  На доске сначала написано число 1. Асан прибавляет к нему 3, 5 или 7. К результату Марат должен прибавить 3, 5 или 7 так, чтобы получилось простое число. Затем опять Асан прибавляет 3, 5 или 7 и т.д. Если Марат не сможет получить простое число, то он проиграет. Если же Марат получит простое число, большее 100, то он выиграет. Кто выиграет при правильной игре?
комментарий/решение
Задача №9.  В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1. M и K — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1. Докажите, чтоMKAC.
комментарий/решение
Задача №10.  Даны 2005 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, , 2005 г. Можно ли распределить их в 5 групп так, чтобы в каждой группе было одно и то же число гирь и суммарная масса гирь во всех группах была одной и той же?
комментарий/решение