Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2006 год
Задача №1. Обозначим через П(x) произведение цифр числа x. В ряд выписаны числа П(2006), П(2007), П(2008), … Какое наибольшее количество чисел, записанных подряд, могут оказаться последовательными натуральными числами?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В семье 4 человека. Если Аскару удвоят стипендию, то общий доход всей семьи возрастет на 10%, если вместо этого маме удвоят зарплату — то на 20%, если же зарплату удвоят папе — то на 55%. На сколько процентов возрастет доход всей
семьи, если дедушке удвоят пенсию?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Докажите, что любой параллелограмм можно разрезать ровно на 9 равнобедренных треугольников.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Найти целое число a, при котором (x−a)(x−10)+1 разлагается в произведение (x+b)(x+c) двух множителей с целыми b и c.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Пусть в треугольнике M середина AB и D∈AC основания биссектрисы угла ∠ABC. Докажите, что AB=3BC, если MD⊥BD.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Даны действительные числа a,b,c, причемa>b>c. Докажите неравенство a2b+b2c+c2a>b2a+a2c+c2b.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. На доске сначала написано число 1. Асан прибавляет к нему 3, 5 или 7. К результату Марат должен прибавить 3, 5 или 7 так, чтобы получилось простое число. Затем опять Асан прибавляет 3, 5 или 7 и т.д. Если Марат не сможет получить простое число, то он проиграет. Если же Марат получит простое число, большее 100, то он выиграет. Кто выиграет при правильной игре?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №9. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1. M и K — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1. Докажите, чтоMK∥AC.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №10. Даны 2005 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, …, 2005 г. Можно ли распределить их в 5 групп так, чтобы в каждой группе было одно и то же число гирь и суммарная масса гирь во всех группах была одной и той же?
комментарий/решение
комментарий/решение