Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2006 год

Задача №1. Используя каждую из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ровно по одному разу, а также знаки арифметических действий и скобки, получите число 2006. Составлять числа из цифр нельзя.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Имеются 10 арбузов и весы, которые могут за одно взвешивание определить общий вес любых трех арбузов (на весы разрешается класть ровно три арбуза). Как за шесть таких взвешиваний определить общий вес всех арбузов?
комментарий/решение(2)

Задача №3. В классе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у

$60\%$ мальчиков сосед по парте — тоже мальчик, а у

$20\%$ девочек сосед по парте — тоже девочка. Сколько процентов учащихся этого класса составляют девочки?
комментарий/решение

Задача №4. Доказать, что если

$3a+4b+5c$ делится на 11 при некоторых целых

$a,b$ и

$c$ , то

$9a+b+4c$ делится на 11 при тех же значениях

$a,b$ и

$c$ .
комментарий/решение(3)

Задача №5. Пусть

$AF$ — медиана треугольника

$ABC$ .

$D$ — середина отрезка

$AF$ ,

$E$ — точка пересечения прямой

$CD$ со стороной

$AB$ . Оказалось, что

$BD=BF=CF$ . Докажите, что

$AE=DE$ .
комментарий/решение(8)

Задача №6. Составьте квадрат, используя ровно четыре из пяти изображенных ниже фигур. Каждую из четырех выбранных Вами фигур можно использовать только один раз.

комментарий/решение

Задача №7. Можно ли расставить числа
а) от 1 до 7;
б) от 1 до 9 по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?
комментарий/решение

Задача №8. Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.
комментарий/решение(1)

Задача №9. Спускаясь по эскалатору, Миша наступил на 50 ступенек, а шагавший втрое быстрее Боря — на 75. Сколько ступенек на эскалаторе?
комментарий/решение

Задача №10. Дан равнобедренный треугольник с углом

$20{}^\circ$ при вершине. Докажите, что его боковая сторона больше удвоенного основания.
комментарий/решение(3)