Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2006 год

Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

Комментарий/решение

Остаток при делении числа на 3 не превосходит 2, при делении на 6 — не превосходит 5, при делении на 9 — не превосходит 8. Так как сумма этих остатков равна

$15 = 2 + 5 + 8$, они равны соответственно 2, 5 и 8. Дальше можно рассуждать по-разному.

1) Так как задуманное число дает остаток 8 при делении на 9, то при делении на 18 оно может давать остаток 8 или остаток 17. В первом случае остаток при делении на 6 равен 2, что противоречит условию. Во втором случае условие задачи выполняется.

2) Задуманное число, увеличенное на 1, делится на 3, 6 и 9, следовательно, оно делится и на 18. Следовательно, задуманное Машей число при делении на 18 дает остаток 17.

Ответ: 17