Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2006 год

Дан равнобедренный треугольник с углом $20{}^\circ$ при вершине. Докажите, что его боковая сторона больше удвоенного основания.

Комментарий/решение

По теореме синусов имеем $\dfrac {AB}{\sin 80}=\dfrac {AC}{\sin 20}$(1) . Нам нужно доказать, что $AB>2AC$; из выражения (1) получается $AB=AC\dfrac {\sin 80}{\sin 20}$. Получаем цепочку эквивалентных неравенств: $$AB >2AC <=>AC\dfrac {\sin 80}{\sin 20}>2AC;\dfrac {\sin 80}{\sin 20}>2;$$ распишем синус 80 градусов

$\sin 80=2\sin 40\cos 40=4\sin 20\cos 20\cos40$;

Получили $\dfrac {\sin 80 }{\sin 20 }=4\cos 20\cos 40>2$ применим преобразование произведения в сумму $4\cdot \dfrac {1}{2}(\cos(20-40)+\cos (20+40))>2$; или $cos 60+cos 20 >1$, что верно

Нарисуем окружность с центром в вершине треугольника ( которая $20$ градусов) . Теперь на этой окружности изобразим прямоугольный треугольник в $30$ градусов так, чтоб больший катет совпал с осью равнобедренного треугольника, вершина с $30$ градусами была в центре окружности , а гипотенуза равнялась радиусу окружности. Катет , лежащий против $30$ градусов, вдвое меньше гипотенузы. Половина основания исходного треугольника меньше катета ,лежащего против $30$ градусов. То есть более чем в 2 раза меньше гипотенузы. По построению имеем гипотенузу равной боковой стороне. Отсюда боковая сторона больше удвоенного основания.