Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2004 год

Задача №1. Известно, что каждое из уравнений

${{x}^{2}}+ax+b=0$ и

${{x}^{2}}+bx+a=0$ имеет два различных корня и эти четыре корня в некотором порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите

$a$ и

$b$ .
комментарий/решение

Задача №2. Докажите тождество:

$\cos \dfrac{\pi }{20}\cdot \cos \dfrac{3\pi }{20}\cdot \cos \dfrac{7\pi }{20}\cdot \cos \dfrac{9\pi }{20}+\cos \dfrac{\pi }{15}\cdot \cos \dfrac{2\pi }{15}\cdot \cos \dfrac{4\pi }{15}\cdot \cos \dfrac{8\pi }{15}=0.$
комментарий/решение(2)

Задача №3. Докажите неравенство:

$\left( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right)\left( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right)\ge 27\cdot {{S}^{2}},$ где

$S$ — площадь,

${{m}_{a}},{{m}_{b}},{{m}_{c}}$ — медианы,

${{h}_{a}},{{h}_{b}},{{h}_{c}}$ — высоты треугольника.
комментарий/решение(1)

Задача №4. В зале находятся 100 человек, каждый из которых знаком по крайней мере с 67 из остальных присутствующих. Докажите, что в зале найдутся четыре человека, из которых любые два знакомы друг с другом.
комментарий/решение

Задача №5. На каждой клетке доски размером

$9\times 9$ сидит жук. В какой-то момент каждый из жуков переползает в одну из соседних (по диагонали) клеток. При этом в каких-то клетках может оказаться по нескольку жуков, а какие-то окажутся незанятыми. Найдите наименьшее возможное число незанятых клеток после того, как жуки переползут в соседние клетки.
комментарий/решение

Задача №6. На окружности расположено 100 точек, являющихся вершинами правильного 100-угольника. Десять из этих точек окрасили в красный цвет, а еще десять — в синий. Докажите, что среди хорд, соединяющих точки красного цвета, найдется хорда, равная по длине одной из хорд, соединяющих точки синего цвета.
комментарий/решение

Задача №7. Докажите неравенство:

$\left( a+b \right)\left( a+c \right)\ge 2\sqrt{abc\left( a+b+c \right)}$ ,

$\forall a,b,c > 0$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Внутри данного

$\vartriangle ABC$ найти такую точку

$O$ , чтобы площади треугольников

$AOB$ ,

$BOC$ и

$COA$ относились как

$1:2:3$ .
комментарий/решение(1)

Задача №9. В четырехугольнике

$ABCD$ диагонали пересекаются в точке

$O$

$\angle AOD=120^\circ$ ,

$AO=OD$ . Пусть

$E$ — произвольная точка на стороне

$BC$ . Точки

$K$ и

$P$ взяты соответственно на сторонах

$AB$ и

$CD$ так, что

$KE \parallel AC$ и

$PE \parallel BD$ . Докажите, что центр описанной окружности около

$\vartriangle KEP$ расположен на стороне

$AD$ .
комментарий/решение

Задача №10. Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров — за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? (Задача Ньютона).
комментарий/решение(1)