Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2004 год


Докажите неравенство: (m2a+m2b+m2c)(h2a+h2b+h2c)27S2, где S — площадь, ma,mb,mc — медианы, ha,hb,hc — высоты треугольника.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
4 года 4 месяца назад #

Известно, что

m2c=2a2+2b2c24,m2b=2a2+2c2b24,m2a=2b2+2c2a24.

Подставив в условие получаем, что достаточно доказать

(a2+b2+c2)(h2a+h2b+h2c)(6S)2,

что следует из КБШ:

(a2+b2+c2)(h2a+h2b+h2c)(aha+bhb+chc)2=(2S+2S+2S)2=(6S)2.