қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2004 год
Задача №1. Известно, что каждое из уравнений ${{x}^{2}}+ax+b=0$ и ${{x}^{2}}+bx+a=0$ имеет два различных корня и эти четыре корня в некотором порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите $a$ и $b$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Докажите тождество: $$\cos \dfrac{\pi }{20}\cdot \cos \dfrac{3\pi }{20}\cdot \cos \dfrac{7\pi }{20}\cdot \cos \dfrac{9\pi }{20}+\cos \dfrac{\pi }{15}\cdot \cos \dfrac{2\pi }{15}\cdot \cos \dfrac{4\pi }{15}\cdot \cos \dfrac{8\pi }{15}=0.$$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Докажите неравенство: $$\left( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right)\left( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right)\ge 27\cdot {{S}^{2}},$$ где $S$ — площадь, ${{m}_{a}},{{m}_{b}},{{m}_{c}}$ — медианы, ${{h}_{a}},{{h}_{b}},{{h}_{c}}$ — высоты треугольника.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В зале находятся 100 человек, каждый из которых знаком по крайней мере с 67 из остальных присутствующих. Докажите, что в зале найдутся четыре человека, из которых любые два знакомы друг с другом.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. На каждой клетке доски размером $9\times 9$ сидит жук. В какой-то момент каждый из жуков переползает в одну из соседних (по диагонали) клеток. При этом в каких-то клетках может оказаться по нескольку жуков, а какие-то окажутся незанятыми. Найдите наименьшее возможное число незанятых клеток после того, как жуки переползут в соседние клетки.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. На окружности расположено 100 точек, являющихся вершинами правильного 100-угольника. Десять из этих точек окрасили в красный цвет, а еще десять — в синий. Докажите, что среди хорд, соединяющих точки красного цвета, найдется хорда, равная по длине одной из хорд, соединяющих точки синего цвета.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Докажите неравенство: $\left( a+b \right)\left( a+c \right)\ge 2\sqrt{abc\left( a+b+c \right)}$, $\forall a,b,c > 0$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Внутри данного $\vartriangle ABC$ найти такую точку$O$, чтобы площади треугольников $AOB$, $BOC$и $COA$ относились как $1:2:3$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №9. В четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$ $\angle AOD=120^\circ $, $AO=OD$. Пусть $E$ — произвольная точка на стороне $BC$. Точки $K$ и $P$ взяты соответственно на сторонах $AB$ и $CD$ так, что $KE \parallel AC$ и $PE \parallel BD$. Докажите, что центр описанной окружности около $\vartriangle KEP$ расположен на стороне$AD$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №10. Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров — за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? (Задача Ньютона).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)