Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8-9 сыныптар, 2003 жыл

Есеп №1. Келесі теңдеулер жүйесін нақты сандар жиынында шешіңдер $\left\{ \begin{gathered} \left| {x + y - 4} \right| = 5, \hfill \\ \left| {x - 3} \right| + \left| {y - 1} \right| = 5. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $AM$ және $BN$ — $ABC$ сүйір бұрышты үшбұрыштың биіктіктері болсын ($\angle ACB\ne 45{}^\circ$). $MA$ және $NB$ сәулелерінен $MK=MB$ және $NT=NA$ болатындай сәйкесінше $K$ және $T$ нүктелері белгіленген. $KT\parallel MN$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. $\{1, 2, 3, \dots, 27, 28\}$ жиынынан қалған элементтердің көбейтіндісі қандай да бір санның квадраты болатындай кем дегенде қанша элемент алынып тасталуы керек.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Хоккейден өткізілген жарыста $N$ команда қатысты. Кез келген екі команда өзара тек бір рет қана ойнады (жеңіс үшін 2 ұпай, теңбе-тең — 1 ұпай, жеңіліс — 0 ұпай). Кез келген үш команда ішінде ешқандай екеуі осы үшеуі арасындағы ойындарда бірдей ұпай жинаған жоқ. Ең көп дегенде теңбе-тең болған ойындар санын табыңдар, егер:
а) $N=12$;
б) $N=13$. болса.
комментарий/решение

---