Городская Жаутыковская олимпиада, 8-9 классы, 2003 год

Пусть $AM$ и $BN$ являются высотами остроугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB\ne 45{}^\circ $). На лучах $MA$ и $NB$ отмечены соответственно точки $K$ и $T$ так, что $MK=MB$ и $NT=NA$. Докажите, что $KT \parallel MN$.

Комментарий/решение

Интересно было бы увидеть не координатное решение.

1)Пусть $A(-a;0);N(0;0);T(0;a);C(c;0);B(0;b)$

2)Пусть $O = BN \cap AM$

3)Получим уравнение прямой $BC$

$$BC:\;\;\;\;y = k_{BC}\cdot x + const_{BC}$$

$$k_{BC} = -\dfrac{b}{c};\;\;\;const_{BC} = y(0) = b$$

$$y =-\dfrac{b}{c}\cdot x + b\Rightarrow \boxed{cy+bx-bc = 0}$$

4)Получим уравнение прямой $AM$

$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{n_{AM}} = (c;-b)$$

$$AM:\;\;\;\;cx-by + const_{AM} = 0$$

$$A(-a;0)\Rightarrow c\cdot(-a) - 0 + const_{AM} = 0\Rightarrow const_{AM} = ca$$

$$AM:\;\;\;\;\boxed{cx-by+ca = 0}$$

5)Решим систему, вычислим координаты точки $M$

$$\begin{equation*}\begin{cases}cy+bx-bc = 0\\cx-by+ca = 0\end{cases}\end{equation*}$$

Получаем

$$X_{M} = \dfrac{b^2c-ac^2}{b^2+c^2};\;\;\;Y_{M}=\dfrac{bc^2+abc}{b^2+c^2}$$

6)По условию $BM = KM$; С другой стороны, вектор $\overrightarrow{MK}$ получается поворотом вектора $\overrightarrow{MB}$ на 90 градусов против часовой стрелки. Поворот сделаем линейным оператором $L$

$$L=\begin{equation*}\begin{pmatrix}\cos\alpha& -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0& -1\\1 & 0 \end{pmatrix}\end{equation*}$$

$$\overrightarrow{MK} = L\cdot \overrightarrow{MB} = \begin{pmatrix}0& -1\\1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}X_{MB}\\Y_{MB} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-Y_{MB}\\X_{MB} \end{pmatrix}$$

7)Вычислим координаты вектора $\overrightarrow{MK}$

$$\overrightarrow{MB} = (X_B - X_M;Y_B - Y_M) = \left(\dfrac{ac^2-b^2c}{b^2+c^2};b - \dfrac{bc^2+abc}{b^2+c^2}\right)$$

$$\overrightarrow{MK} = \left(-b +\dfrac{bc^2+abc}{b^2+c^2};\dfrac{ac^2-b^2c}{b^2+c^2}\right)$$

8)Теперь - то вычислим координату точки $K$

$$X_K = X_{MK} + X_M;\;\;\;Y_K = Y_{MK} + Y_M$$

$$X_K = -b +\dfrac{bc^2+abc}{b^2+c^2} + \dfrac{b^2c-ac^2}{b^2+c^2}$$

$$Y_K = \dfrac{ac^2-b^2c}{b^2+c^2} + \dfrac{bc^2+abc}{b^2+c^2}$$

9)Проверим, параллельны ли $\overrightarrow{KT} $ и $\overrightarrow{MN}$

Известно, что если векторное произведение векторов равно нулю, то вектора параллельны

$$\overrightarrow{KT}\times\overrightarrow{MN} = \begin{vmatrix}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\X_{KT} & Y_{KT} & 0\\X_{MN} & Y_{MN} & 0\end{vmatrix}=$$

$$=X_{KT}\cdot Y_{MN} - X_{MN}\cdot Y_{KT}=$$

$$=(X_T-X_K)\cdot (Y_N-Y_M) - (X_N-X_M)\cdot (Y_T-Y_K)$$

10) Подставим в (9) все координаты

$$\left(0+b-\dfrac{bc^2+abc+b^2c-ac^2}{b^2+c^2}\right)\cdot \left(0-\dfrac{bc^2+abc}{b^2+c^2}\right)-$$

$$ - \left(0-\dfrac{b^2c-ac^2}{b^2+c^2}\right)\cdot \left(a-\dfrac{ac^2-b^2c+bc^2+abc}{b^2+c^2}\right)$$

Признаюсь честно, в ручную раскрыть этого монстра (10) я не стал, но тем не менее, в математическом пакете Mathcad15 при помощи символьных вычислений я убедился в том, что выражение (10) - тождественный ноль, а значит, $KT \parallel MN$

Из того что $MK=MB, \ NT=NA$ получается $\angle TAC = \angle CBK = 45^{\circ}$ откуда $ \angle TBK = \angle TAK = 135^{\circ}-\angle ACB$ то есть $TABK$ вписанный, и так как $ABMN$ вписанный, значит $\angle AKT = \angle ABT = \angle AMN$ значит $KT || MN $