Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8-9 сыныптар, 2003 жыл


AM және BNABC сүйір бұрышты үшбұрыштың биіктіктері болсын (ACB45). MA және NB сәулелерінен MK=MB және NT=NA болатындай сәйкесінше K және T нүктелері белгіленген. KTMN болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
3 года 3 месяца назад #

Интересно было бы увидеть не координатное решение.

1)Пусть A(a;0);N(0;0);T(0;a);C(c;0);B(0;b)

2)Пусть O=BNAM

3)Получим уравнение прямой BC

BC:y=kBCx+constBC

kBC=bc;constBC=y(0)=b

y=bcx+bcy+bxbc=0

4)Получим уравнение прямой AM

BC=nAM=(c;b)

AM:cxby+constAM=0

A(a;0)c(a)0+constAM=0constAM=ca

AM:cxby+ca=0

5)Решим систему, вычислим координаты точки M

{cy+bxbc=0cxby+ca=0

Получаем

XM=b2cac2b2+c2;YM=bc2+abcb2+c2

6)По условию BM=KM; С другой стороны, вектор MK получается поворотом вектора MB на 90 градусов против часовой стрелки. Поворот сделаем линейным оператором L

L=(cosαsinαsinαcosα)=(0110)

MK=LMB=(0110)(XMBYMB)=(YMBXMB)

7)Вычислим координаты вектора MK

MB=(XBXM;YBYM)=(ac2b2cb2+c2;bbc2+abcb2+c2)

MK=(b+bc2+abcb2+c2;ac2b2cb2+c2)

8)Теперь - то вычислим координату точки K

XK=XMK+XM;YK=YMK+YM

XK=b+bc2+abcb2+c2+b2cac2b2+c2

YK=ac2b2cb2+c2+bc2+abcb2+c2

9)Проверим, параллельны ли KT и MN

Известно, что если векторное произведение векторов равно нулю, то вектора параллельны

KT×MN=|ijkXKTYKT0XMNYMN0|=

=XKTYMNXMNYKT=

=(XTXK)(YNYM)(XNXM)(YTYK)

10) Подставим в (9) все координаты

(0+bbc2+abc+b2cac2b2+c2)(0bc2+abcb2+c2)

(0b2cac2b2+c2)(aac2b2c+bc2+abcb2+c2)

Признаюсь честно, в ручную раскрыть этого монстра (10) я не стал, но тем не менее, в математическом пакете Mathcad15 при помощи символьных вычислений я убедился в том, что выражение (10) - тождественный ноль, а значит, KTMN

  3
3 года 3 месяца назад #

Из того что MK=MB, NT=NA получается TAC=CBK=45 откуда TBK=TAK=135ACB то есть TABK вписанный, и так как ABMN вписанный, значит AKT=ABT=AMN значит KT||MN