Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8-9 сыныптар, 2003 жыл
Комментарий/решение:
Интересно было бы увидеть не координатное решение.
1)Пусть A(−a;0);N(0;0);T(0;a);C(c;0);B(0;b)
2)Пусть O=BN∩AM
3)Получим уравнение прямой BC
BC:y=kBC⋅x+constBC
kBC=−bc;constBC=y(0)=b
y=−bc⋅x+b⇒cy+bx−bc=0
4)Получим уравнение прямой AM
→BC=→nAM=(c;−b)
AM:cx−by+constAM=0
A(−a;0)⇒c⋅(−a)−0+constAM=0⇒constAM=ca
AM:cx−by+ca=0
5)Решим систему, вычислим координаты точки M
{cy+bx−bc=0cx−by+ca=0
Получаем
XM=b2c−ac2b2+c2;YM=bc2+abcb2+c2
6)По условию BM=KM; С другой стороны, вектор →MK получается поворотом вектора →MB на 90 градусов против часовой стрелки. Поворот сделаем линейным оператором L
L=(cosα−sinαsinαcosα)=(0−110)
→MK=L⋅→MB=(0−110)⋅(XMBYMB)=(−YMBXMB)
7)Вычислим координаты вектора →MK
→MB=(XB−XM;YB−YM)=(ac2−b2cb2+c2;b−bc2+abcb2+c2)
→MK=(−b+bc2+abcb2+c2;ac2−b2cb2+c2)
8)Теперь - то вычислим координату точки K
XK=XMK+XM;YK=YMK+YM
XK=−b+bc2+abcb2+c2+b2c−ac2b2+c2
YK=ac2−b2cb2+c2+bc2+abcb2+c2
9)Проверим, параллельны ли →KT и →MN
Известно, что если векторное произведение векторов равно нулю, то вектора параллельны
→KT×→MN=|→i→j→kXKTYKT0XMNYMN0|=
=XKT⋅YMN−XMN⋅YKT=
=(XT−XK)⋅(YN−YM)−(XN−XM)⋅(YT−YK)
10) Подставим в (9) все координаты
(0+b−bc2+abc+b2c−ac2b2+c2)⋅(0−bc2+abcb2+c2)−
−(0−b2c−ac2b2+c2)⋅(a−ac2−b2c+bc2+abcb2+c2)
Признаюсь честно, в ручную раскрыть этого монстра (10) я не стал, но тем не менее, в математическом пакете Mathcad15 при помощи символьных вычислений я убедился в том, что выражение (10) - тождественный ноль, а значит, KT∥MN
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.