Городская Жаутыковская олимпиада, 8-9 классы, 2003 год

Задача №1. Решите систему уравнений в действительных числах

$\left\{ \begin{gathered} \left| {x + y - 4} \right| = 5,\\ \left| {x - 3} \right| + \left| {y - 1} \right| = 5. \\ \end{gathered} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

$AM$ и

$BN$ являются высотами остроугольного треугольника

$ABC$ (

$\angle ACB\ne 45{}^\circ$ ). На лучах

$MA$ и

$NB$ отмечены соответственно точки

$K$ и

$T$ так, что

$MK=MB$ и

$NT=NA$ . Докажите, что

$KT \parallel MN$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Найдите наименьшее число элементов во множестве

$\{1, 2, 3, \dots, 27, 28\},$ которые должны быть удалены, чтобы произведение оставшихся элементов являлось точным квадратом.
комментарий/решение(1)

Задача №4. В хоккейном турнире участвовало

$N$ команд. Любые две команды сыграли между собой в точности один раз. (За выигрыш присуждается 2 очка, ничью 1 — очко, проигрыш — 0 очков). Известно, что для любых трех команд никакие две из них не набрали одинаковое количество очков в играх между этими тремя командами. Найдите наибольшее возможное количество ничейных результатов в данном турнире, если
а)

$N=12$ ;
б)

$N=13$ .
комментарий/решение