Қалалық Жәутіков олимпиадасы
10 сынып, 2001 жыл

Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында $\angle A=3\angle C$. $D$ нүктесі $BC$ қабырғасында орналасқан және келесі қасиетке ие $\angle ADC=2\angle C$. $AB+AD=BC$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Натурал $a$, $b$, $c$, $d$ және $e$ сандары үшін ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+{{d}^{4}}={{e}^{4}}$ теңдіктің орындалатыны белгілі болса, онда осы сандардың кем дегенде
А) үш сан жұп екенін;
Б) үш сан беске бөлінетінін;
В) екеуі 10-ға бөлінетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №3. Өзара әртүрлі $a,b,c,d,e,f$ бүтін сандары үшін \[{(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - d)^2} + {(d - e)^2} + {(e - f)^2} + {(f - a)^2} \ge 18\] теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Лабараторияда ерекше вирус пен бактерия өсіріліп шығарылған. Әр секундта вирус бактерияны жеп, екіге бөлінетіні, ал бактерия аман қалса, ол да екіге бөлінетіндігі белгілі. Егер пробиркада бастапқыда 2001 бактерия және 1 вирус болғаны белгілі болса, ең кем дегенде неше уақыттан кейін пробиркада ылғи вирустар қалуы мүмкін?
комментарий/решение(1)

---