Городская Жаутыковская олимпиада, 10 класс, 2001 год

В лаборатории выращен особый вирус и бактерия. Известно, что за секунду вирус может съесть одну бактерию и разделится на два, а уцелевшая бактерия за каждую секунду тоже разделяется на два. Если известно, что в начале в пробирке было 2001 бактерия и 1 вирус, то после какого минимального времени в пробирке окажутся одни вирусы.

Комментарий/решение

Ответ: 2002 секунды

За первую секунду вирус съест 1 бактерию и разделится на 2 и остальные бактерии тоже поделятся на 2

Значит кол-во бактерий будет

$(2001-1)×2$

А вирусов

$1×2$

В следующую секунду

$((2001-1)×2-2)×2$ или $(2001-2)×2^2$

Вирусов же

$1×2^2$

То есть

$(2001-x)×x+1$ должен равнятся нулю

Найдем такой минимальный x

$$x=2001$$

Кол-во секунд x+1

$$x=2001$$

$$x+1=2002$$