Городская Жаутыковская олимпиада, 10 класс, 2001 год

Задача №1. В треугольнике

$ABC$

$\angle A=3\angle C$ . Точка

$D$ на стороне

$BC$ обладает тем свойством, что

$\angle ADC=2\angle C$ . Докажите, что

$AB+AD=BC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Про пятерку чисел

$a,b,c,d,e$ известно, что они удовлетворяют уравнению

${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+{{d}^{4}}={{e}^{4}}$ . Докажите, что по крайней мере
А) три из них четны;
Б) три делятся на пять;
В) две делятся на 10.
комментарий/решение

Задача №3. Для попарно различных целых чисел

$a,b,c,d,e,f$ докажите неравенство:

${{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-d \right)}^{2}}+{{\left( d-e \right)}^{2}}+\left( e-f \right)^2+{{\left( f-a \right)}^{2}}\ge 18.$
комментарий/решение(1)

Задача №4. В лаборатории выращен особый вирус и бактерия. Известно, что за секунду вирус может съесть одну бактерию и разделится на два, а уцелевшая бактерия за каждую секунду тоже разделяется на два. Если известно, что в начале в пробирке было 2001 бактерия и 1 вирус, то после какого минимального времени в пробирке окажутся одни вирусы.
комментарий/решение(1)