Processing math: 87%

Городская Жаутыковская олимпиада, 10 класс, 2001 год


Для попарно различных целых чисел a,b,c,d,e,f докажите неравенство: (ab)2+(bc)2+(cd)2+(de)2+(ef)2+(fa)218.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
1 года 9 месяца назад #

Что-то похожее было на области в 11 классе. Я это задание в свое время выполнил на 0 баллов))

http://www.matol.kz/comments/2904/show

1)Введем обозначениия:

S=(ab)2+(bc)2+(cd)2+(de)2+(ef)2+(fa)2

Mabs=|ab|+|bc|+|cd|+|de|+|ef|+|fa|

M=(ab)+(bc)+(cd)+(de)+(ef)+(fa)=0a,b,c,d,e,f

M+ - сумма разностей, больших чем 0

M - сумма разностей, меньших чем 0

2)Пример S=18

a=a;b=a+1;f=a+2;c=a+3;e=a+4;d=a+5

3)Квадрат действительного числа неотрицателен: x20xR

4)Так как числа a,b,c,d,e,fZ попарно различны, то наименьшее значение модуля любой разности не меньше 1

5)Гипотетически возможные значения S<18

S1=12+12+12+12+12+12=6;Mabs1=6

S2=12+12+12+12+12+22=9;Mabs2=7

S3=12+12+12+12+22+22=12;Mabs3=8

S4=12+12+12+22+22+22=15;Mabs4=9

S5=12+12+12+12+12+32=14;Mabs5=8

S6=12+12+12+12+22+32=17;Mabs6=9

6)Покажем, что Mabs=2M+

M=M++M=0M+=M|M+|=|M|

Mabs=|M+|+|M|=2|M+|

7)Покажем, что M+5. Если это так, то Mabs10. Это сделает невозможным случаи S16, тем самым доказывает , что S18

8)Зайдем от противного. Пусть max. Тогда целых значений на отрезке

x\in [\min{(a,b,c,d,e,f)};\max{(a,b,c,d,e,f)}]

будет не больше 4+1=5. Тогда, по принципу Дирихле, найдется два одинаковых значения в наборе (a,b,c,d,e,f) (Так как точек 5, а самих переменных 6). Таким образом , пришли к противоречию (по условию все переменные попарно не равны).

Утверждение задачи доказано