Городская Жаутыковская олимпиада, 10 класс, 2001 год
Комментарий/решение:
Что-то похожее было на области в 11 классе. Я это задание в свое время выполнил на 0 баллов))
http://www.matol.kz/comments/2904/show
1)Введем обозначениия:
S=(a−b)2+(b−c)2+(c−d)2+(d−e)2+(e−f)2+(f−a)2
Mabs=|a−b|+|b−c|+|c−d|+|d−e|+|e−f|+|f−a|
M=(a−b)+(b−c)+(c−d)+(d−e)+(e−f)+(f−a)=0∀a,b,c,d,e,f
M+ - сумма разностей, больших чем 0
M− - сумма разностей, меньших чем 0
2)Пример S=18
a=a;b=a+1;f=a+2;c=a+3;e=a+4;d=a+5
3)Квадрат действительного числа неотрицателен: x2≥0∀x∈R
4)Так как числа a,b,c,d,e,f∈Z попарно различны, то наименьшее значение модуля любой разности не меньше 1
5)Гипотетически возможные значения S<18
S1=12+12+12+12+12+12=6;Mabs1=6
S2=12+12+12+12+12+22=9;Mabs2=7
S3=12+12+12+12+22+22=12;Mabs3=8
S4=12+12+12+22+22+22=15;Mabs4=9
S5=12+12+12+12+12+32=14;Mabs5=8
S6=12+12+12+12+22+32=17;Mabs6=9
6)Покажем, что Mabs=2M+
M=M++M−=0⇒M+=−M−⇒|M+|=|M−|
Mabs=|M+|+|M−|=2|M+|
7)Покажем, что M+≥5. Если это так, то Mabs≥10. Это сделает невозможным случаи S1−6, тем самым доказывает , что S≥18
8)Зайдем от противного. Пусть max. Тогда целых значений на отрезке
x\in [\min{(a,b,c,d,e,f)};\max{(a,b,c,d,e,f)}]
будет не больше 4+1=5. Тогда, по принципу Дирихле, найдется два одинаковых значения в наборе (a,b,c,d,e,f) (Так как точек 5, а самих переменных 6). Таким образом , пришли к противоречию (по условию все переменные попарно не равны).
Утверждение задачи доказано
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.