Городская Жаутыковская олимпиада, 10 класс, 2001 год

Для попарно различных целых чисел $a,b,c,d,e,f$ докажите неравенство: $${{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-d \right)}^{2}}+{{\left( d-e \right)}^{2}}+\left( e-f \right)^2+{{\left( f-a \right)}^{2}}\ge 18.$$

Комментарий/решение

Что-то похожее было на области в 11 классе. Я это задание в свое время выполнил на $0$ баллов))

http://www.matol.kz/comments/2904/show

1)Введем обозначениия:

$$S=(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-d)^2 + (d-e)^2 + (e-f)^2 + (f-a)^2$$

$$M_{abs} = |a-b| + |b-c| + |c-d| + |d-e|+ |e-f| + |f-a|$$

$$M = (a-b) + (b-c) + (c-d) + (d-e) + (e-f) + (f-a)=0\;\forall a,b,c,d,e,f$$

$M^{+}$ - сумма разностей, больших чем $0$

$M^{-}$ - сумма разностей, меньших чем $0$

2)Пример $S=18$

$$a=a;\;b=a+1;\;f=a+2;\;c=a+3;\;e=a+4;\;d=a+5$$

3)Квадрат действительного числа неотрицателен: $x^2\ge 0\;\forall x\in\mathbb{R}$

4)Так как числа $a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Z}$ попарно различны, то наименьшее значение модуля любой разности не меньше $1$

5)Гипотетически возможные значения $S<18$

$$S_1 = 1^2 + 1^2+ 1^2+ 1^2+ 1^2+ 1^2=6;\;M_{abs1} = 6 $$

$$S_2 = 1^2 + 1^2+ 1^2+ 1^2+ 1^2+ 2^2=9;\;M_{abs2} = 7 $$

$$S_3 = 1^2 + 1^2+ 1^2+ 1^2+ 2^2+ 2^2=12;\;M_{abs3} = 8 $$

$$S_4 = 1^2 + 1^2+ 1^2+ 2^2+ 2^2+ 2^2=15;\;M_{abs4} = 9 $$

$$S_5 = 1^2 + 1^2+ 1^2+ 1^2+ 1^2+ 3^2=14;\;M_{abs5} = 8 $$

$$S_6 = 1^2 + 1^2+ 1^2+ 1^2+ 2^2+ 3^2=17;\;M_{abs6} = 9 $$

6)Покажем, что $M_{abs}=2M^{+}$

$$M=M^{+}+M^{-}=0\Rightarrow M^{+}=-M^{-}\Rightarrow |M^{+}|=|M^{-}|$$

$$M_{abs} = |M^{+}|+|M^{-}|=2|M^{+}|$$

7)Покажем, что $M^{+}\ge 5$. Если это так, то $M_{abs}\ge 10$. Это сделает невозможным случаи $S_{1-6}$, тем самым доказывает , что $S\ge 18$

8)Зайдем от противного. Пусть $\max{(a,b,c,d,e,f)}-\min{(a,b,c,d,e,f)}\le 4$. Тогда целых значений на отрезке

$$x\in [\min{(a,b,c,d,e,f)};\max{(a,b,c,d,e,f)}]$$

будет не больше $4+1=5$. Тогда, по принципу Дирихле, найдется два одинаковых значения в наборе $(a,b,c,d,e,f)$ (Так как точек 5, а самих переменных 6). Таким образом , пришли к противоречию (по условию все переменные попарно не равны).

Утверждение задачи доказано