Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2001 жыл

Есеп №1.  $S\left( n \right)$ — $n$ санының цифрларының қосындысы болсын. $n+S\left( n \right)+S\left( S\left( n \right) \right)+\ldots +S\left( S\left( \ldots S\left( n \right) \right) \right)=2000000$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $n$-ді табыңдар. (Теңдіктің сол жағында дәл $n$ қосынды).
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $8\times 8$ тақтасының әрбір шаршысы (белгіленген шаршыларды қоса есептегенде) тура бір белгіленген шаршымен көршілес болатындай етіп бірнеше шаршыны белгілеңдер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. ${{K}_{1}}$ және ${{K}_{2}}$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. ${{K}_{1}}$ және ${{K}_{2}}$ шеңберлерін ${{C}_{1}}$ және ${{C}_{2}}$ нүктелерінде жанайтындай ортақ жанама жүргізілген. $AB{{C}_{1}}$ және $AB{{C}_{2}}$ үшбұрыштары тең шамалы екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Кез келген оң $a,b,c,d,e$ сандары үшін келесі теңсіздіктің орындалатынын дәлелдеңдер: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}\ge a\left( b+c+d+e \right).$$
комментарий/решение(2)

---