Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2001 год
Пусть $S\left( n \right)$ — сумма цифр числа $n$. Найдите все $n$, для которых $n+S\left( n \right)+S\left( S\left( n \right) \right)+\ldots +S\left( S\left( \ldots S\left( n \right) \right) \right)=2000000$. В левой части равенства число слагаемых равно $n$).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим, n, S(n), S(S(n)), … . Имеют одинаковый остаток при делении на 3.
Так как всего слагаемых n, и все они имеют остаток как у остатка n.
Стоит отметить что, 2000000=2 (mod 3)
При n^2 в модуле 3, возможны остатки 0,1. Так как n^2 является квадратом.
Следовательно, нету такого n^2=2 (mod 3)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.