Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2001 год

Задача №1. Пусть

$S\left( n \right)$ — сумма цифр числа

$n$ . Найдите все

$n$ , для которых

$n+S\left( n \right)+S\left( S\left( n \right) \right)+\ldots +S\left( S\left( \ldots S\left( n \right) \right) \right)=2000000$ . В левой части равенства число слагаемых равно

$n$ ).
комментарий/решение(1)

Задача №2. Отметьте на доске

$8\times 8$ несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.
комментарий/решение(2)

Задача №3. Две окружности

${{K}_{1}}$ и

${{K}_{2}}$ пересекаются в точках

$A$ и

$B$ . Проведена общая касательная которая касается окружностей

${{K}_{1}}$ и

${{K}_{2}}$ соответственно в точках

${{C}_{1}}$ и

${{C}_{2}}$ . Докажите, что треугольники

$AB{{C}_{1}}$ и

$AB{{C}_{2}}$ равновелики.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что для любых положительных

$a,b,c,d,e$ выполняется следующее неравенство:

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}\ge a\left( b+c+d+e \right).$
комментарий/решение(2)