Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2001 год

Пусть $S\left( n \right)$ — сумма цифр числа $n$. Найдите все $n$, для которых $n+S\left( n \right)+S\left( S\left( n \right) \right)+\ldots +S\left( S\left( \ldots S\left( n \right) \right) \right)=2000000$. В левой части равенства число слагаемых равно $n$).

Комментарий/решение

Заметим, n, S(n), S(S(n)), … . Имеют одинаковый остаток при делении на 3.

Так как всего слагаемых n, и все они имеют остаток как у остатка n.

Стоит отметить что, 2000000=2 (mod 3)

При n^2 в модуле 3, возможны остатки 0,1. Так как n^2 является квадратом.

Следовательно, нету такого n^2=2 (mod 3)